В геометрии школьного курса часто встречается задача о построении и исследовании биссектрисы угла треугольника. В данной статье мы подробно рассмотрим конкретный случай – биссектрису угла МКП, которая пересекает противоположную сторону МН. Описаны основные свойства, формулы, методы построения и типовые задачи с решениями.

Определение биссектрисы угла

Биссектрисой угла называют луч (или отрезок), который соединяет вершину угла с точкой на противоположной стороне и делит угол пополам.

Для угла МКП биссектрисой будет луч КX, где X – точка на стороне МН, такая что

∠МКX = ∠XКП.

Ключевые свойства биссектрисы угла МКП

Все свойства, перечисленные ниже, являются следствиями общей теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

1. Пропорциональное деление стороны МН.
   Точка X, в которой биссектриса пересекает сторону МН, делит её в отношении сторон, прилежащих к углу МКП:
   
   MX : XN = МК : КП
2. Объединение всех биссектрис в одну точку.
   Три биссектрисы углов треугольника МКП (углы при вершинах М, К, П) пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности (обозначается I).
3. Отношение расстояний от любой точки внутри треугольника до сторон.
   Если точка Y лежит на биссектрисе КX, то
   
   д(Y, МК) = д(Y, КП)
   (расстояния измеряются перпендикулярно к соответствующим сторонам).
4. Угол между биссектрисой и стороной.
   Угол между биссектрисой КX и стороной МН равен половине суммы углов при основаниях:
   
   ∠KXN = ½(∠М + ∠П)

Формула биссектрисы для треугольника МКП

Если известны длины сторон МК = a, КП = b и МП = c, то длина биссектрисы КX можно вычислить по формуле:

КX = √(ab·[1 – (c²/(a+b)²)])

Эта формула выводится из закона косинусов и свойства пропорционального деления стороны.

Как построить биссектрису угла МКП

1. На лучах КМ и КП отметьте любые одинаковые отрезки KA и KB.
2. Постройте окружность с центром в A и радиусом AB (где B – конец отрезка KB).
3. Точка пересечения этой окружности с лучом КП (не B) обозначьте C.
4. Постройте середину отрезка AC – точку D. Луч KД будет биссектрисой угла МКП.
5. Продлите KД до пересечения со стороной МН – получим точку X.

Пример задачи с полным решением

Условие

В треугольнике МКП известны стороны: МК = 8 см, КП = 6 см, МП = 10 см. Найдите длину отрезка MX, где X – точка пересечения биссектрисы угла МКП со стороной МН.

Решение

1. Сначала определим отношение, в котором биссектриса делит сторону МН:
   
   MX : XN = МК : КП = 8 : 6 = 4 : 3
2. Обозначим MN = d. Тогда
   
   MX = 4/7·d, XN = 3/7·d
3. Найдём сторону MN. В треугольнике МКП известны все три стороны, поэтому используем закон косинусов, чтобы найти угол МКП и затем применим теорему о косинусах в треугольнике МНК. Но проще: в любой треугольнике, где известны все стороны, можно вычислить площадь S по формуле Герона:
   
   s = (8+6+10)/2 = 12 → S = √[12·(12‑8)·(12‑6)·(12‑10)] = √[12·4·6·2] = √576 = 24 см²
4. Площадь также равна S = ½·MN·h, где h – высота из вершины К на сторону MN. Вычислим h:
   
   h = 2S / MN = 48 / MN
5. С другой стороны, высота h связана с сторонами МК и КП через синусы углов, но для задачи нам достаточно использовать уже найденное отношение:
   
   MN = MX + XN = (4/7)d + (3/7)d = d
   Следовательно, d = MN – неизвестно, но мы можем выразить его через известные стороны, используя теорему о биссектрисе:
   
   MN = (2·a·b·cos(½γ)) / (a+b)
   где a = МК = 8, b = КП = 6, γ = ∠МКП. Вычислим cosγ по закону косинусов:
   
   c² = a² + b² – 2ab·cosγ ⇒ 10² = 8² + 6² – 2·8·6·cosγ
   100 = 64 + 36 – 96·cosγ ⇒ cosγ = 0
   Поэтому γ = 90° и ½γ = 45° ⇒ cos(½γ)=√2/2.
   Подставляем:
   
   MN = (2·8·6·√2/2) / (8+6) = (96·√2/2) / 14 = (48·√2) / 14 = 24·√2 / 7 ≈ 4.85 см
6. Теперь найдём MX:
   
   MX = 4/7·MN = 4/7·(24·√2/7) = 96·√2 / 49 ≈ 2.77 см

Ответ

Длина отрезка MX составляет приблизительно 2,77 см.

Типичные ошибки учащихся

• Неправильное соотношение сторон. При применении свойства биссектрисы часто перепутывают, какие стороны относятся к каким отрезкам.
• Игнорирование знака угла. Формула длины биссектрисы требует, чтобы угол был измерен в радианах или градусах, а иногда берут косинус от внешнего угла.
• Путаница между медианой и биссектрисой. Медиана делит противоположную сторону пополам, а не в пропорции сторон.

Контакты для обращений

Если у вас возникли вопросы по теме «Биссектриса угла», нужны дополнительные примеры или разбор домашнего задания – вы можете связаться с нашими преподавателями:

1. Электронная почта: math.help@school.edu
2. Телефон горячей линии: +7 (495) -23‑45‑67 (круглосуточно)
3. Онлайн‑чат: Telegram‑бот MathSupportBot
4. Физический офис: г. Москва, ул. Петровка, д. 12, кабинет 305 (приём в будние дни с 9:00 до 18:00)
5. Веб‑вебинар «Биссектрисы в задачах ЕГЭ»: каждый вторник в 19:00 по московскому времени. Записаться можно здесь.

Биссектриса угла МКП — мощный инструмент решения геометрических задач. Знание её свойств (пропорциональное деление стороны, связь со вписанной окружностью, формула длины) позволяет быстро находить неизвестные отрезки и проверять правильность построений. Не забывайте практиковаться на типовых задачах, а в случае затруднений обращайтесь к указанным контактам – мы всегда готовы помочь!

Дата публикации: 23 марта 2026 г.